Šťastná čísla - výpočet
Tzv. šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno takto: vezměme libovolné kladné celé číslo, nahraďme jej součtem druhých mocnin jeho cifer a tento proces opakujme, dokud se nedostaneme k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se nám v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (tzn. posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, nazýváme šťastná, ostatní pak nešťastná.
Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou též šťastnými čísly.
Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:
72 = 49
42 + 92 = 97
92 + 72 = 130
12 + 32 + 02 = 10
12 + 02 = 1.
Také číslo 1663 je šťastné číslo:
12 + 62 + 62 + 32 = 82
82 + 22 = 68
62 + 82 = 100
12 + 02 + 02 = 1.
Také číslo 13, obecně pokládané za nešťastné, je podle výše uvedené definice šťastné číslo:
12 + 32 = 10
12 + 02 = 1
Když n není šťastné, pak se jeho posloupnost k jedné nedostane. Namísto toho se zacyklí (např. uvádím pro číslo 4):
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...
Pro pochopení tohoto faktu poznamenám, že pokud n má m cifer, poté součet druhých mocnin těchto cifer může být nejvýše 81 m (to nastane, pokud všechny cifry jsou devítky). Pro m = 4 a více je n ≥ 10 m − 1 > 81 m. Tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. Jakmile se pohybujeme v číslech menších než 1000, číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, je 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.
V rozmezí 100 až 243, číslo 199 dává největší hodnotu, a to 163.
V rozmezí 100 až 163, číslo 159 dává největší hodnotu, a to 107.
V rozmezí 100 až 107, číslo 107 dává největší hodnotu, a to 50.
Zaměříme-li se pečlivěji na čísla v intervalech [244, 999], [164, 243], [108, 163] a [100, 107], zjistíme, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem začneme, se nakonec dostaneme na číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1, 99] je buď šťastné, a nebo se zacyklí.
Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:
7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487. Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru 10 n + 3 a 10 n + 9 pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu proto, že všechna tato čísla mají nejméně dvě cifry. První cifrou je vždy 1. Poslední cifrou je vždy 3 nebo 9. Všechny další cifry jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1
